Cours et exercices de maths -Equations à deux inconnues : substitution, combinaison, graphique

$Mathématiques$

Résolution d'équations à deux inconnues

Les cours de maths concours, au collège ( 6^ème, 5^ème, 4^èmeet 3^ème) et au primaire (cm2, cm1, ce2, ce1, cp)

$Mathématiques$ Généralités

x + 2y = 1 3x + y = -1		est un système de deux équations à deux inconnues (x ; y).

Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations. Un système à 2 inconnues peut admettre 0, 1 ou une infinité de solutions. Nota : en classe de troisième, on se limite à des systèmes admettant une seule solution.

Il y a deux méthodes et l'interprétation graphique pour résoudre un tel système : La méthode par substitution, La méthode par combinaisons, L'interprétation graphique.

$Mathématiques$ Méthode par substitution

Dans la méthode par substitution, on exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre. Cette méthode fonctionne dans tous les cas de figure. Voyons comment faire...

Prenons le système suivant :

$équation$ x + 2y = 1 $équation$ 3x + y = -1		est un système de deux équations à deux inconnues (x ; y).

Première étape : on exprime une inconnue en fonction de l'autre. Exprimons x en fonction de y dans la première équation ( $équation$ x + 2y = 1), soit : $équation$ x = 1 - 2y Deuxième étape : on remplace x par 1 - 2y dans la deuxième équation (comme on a exprimer x à l'aide de la première équation de départ, on fait la substitution dans la 2^ème) afin de se retrouver avec une équation à une inconnue, soit : $équation$ 3x + y = -1 $fleche$ 3 (1 - 2y) + y = -1 Troisième étape : on résoud l'équation à une inconnue en isolant y, soit : 3 (1 - 2y) + y = -1 $fleche$ 3 - 6y + y = -1 $fleche$ 3 - 5y = -1 $fleche$ -5y = -1 -3 $fleche$ -5y = -4 $fleche$ y = -4 / -5 $fleche$ y = 4/5 Quatrième étape : on remplace y par sa valeur (4/5) dans l'équation $équation$ , soit : $équation$ x = 1 - 2y $fleche$ x = 1 - 2 (4/5) = 1 - 8/5 = (5 - 8)/5 = -3/5 $fleche$ x = -3/5 Cinquième étape : on présente les résultats, soit :
x + 2y = 1 3x + y = -1	alors	x = -3/5 y = 4/5
Sixième étape : on vérifie que la solution obtenue, c'est à dire le couple (-3/5 ; 4/5) est bien la solution du système de départ, soit : on remplace x et y par leur valeur dans une des équations de départ, soit : x + 2y = 1 $fleche$ -3/5 + 2(4/5) = 1 $fleche$ -3/5 + 8/5 = 1 $fleche$ 5/5 = 1 $fleche$ Vérification réussie, le couple (-3/5 ; 4/5) est bien la solution de l'équation. Septième étape : on conclut, soit : La solution du système est le couple (-3/5 ; 4/5).

$Mathématiques$ Méthode par combinaison

Le principe de cette méthode consiste à éliminer l'une des deux inconnues en utilisant une combinaison linéaire afin de se ramener à une équation à une inconnue. Cette méthode est plus délicate à mettre en oeuvre que la méthode pas substitution. Voyons néanmoins comment faire...

Prenons le système suivant :

$équation$ x + 2y = 1 $équation$ 3x + y = -1		est un système de deux équations à deux inconnues (x ; y).

Première étape : on observe les 2 équations afin de savoir comment éliminer une des deux inconnues. On remarque que : si l'on multiplie par 3 la première équation : $équation$ x 3 et que l'on soustrait les deux équations, alors les x vont disparaître : ( $équation$ x 3) - $équation$ , on se retrouve donc avec une équation avec une inconnue, soit : On multiplie par 3 la première équation ( $équation$ x 3), soit : x + 2y = 1 $fleche$ on multiplie par 3 $fleche$ $équation$ 3x + 6y = 3 On soustrait les deux équations membre à membre $équation$ - $équation$ $fleche$ (3x + 6y) - (3x + y) = 3 - (-1) $fleche$ 6y - y = 3 + 1 $fleche$ 5y = 4 $fleche$ y = 4/5 Remarque : Pour éliminer les x, on aurait également pu : multiplier l'équation $équation$ par - 3, puis additionner les deux équations pour éliminer les x. ou diviser l'équation $équation$ par 3, puis soustraire les deux équations pour éliminer les x ou encore diviser l'équation $équation$ par -3, puis additionner les deux équations pour éliminer les x ... Pour éliminer les y, on aurait pu : multiplier l'équation $équation$ par - 2, puis additionner les deux équations ou multiplier l'équation $équation$ par 2, puis soustraire les deux équation ou encore diviser l'équation $équation$ par -2, puis additionner les deux équations multiplier l'équation ou bien diviser l'équation $équation$ par 2, puis soustraire les deux équations ... Deuxième étape : on remplace y par sa valeur (4/5) dans la première équation pour trouver x, soit : $équation$ x + 2y = 1 $fleche$ x + 2(4/5) = 1 $fleche$ x + 8/5 = 1 $fleche$ x = 1 - 8/5 $fleche$ x = (5-8)/5 x = -3/5 Troisième étape : on présente les résultats, soit :
x + 2y = 1 3x + y = -1	alors	x = -3/5 y = 4/5
Quatrième étape : on vérifie que la solution obtenue, c'est à dire le couple (-3/5 ; 4/5) est bien la solution du système de départ, soit : on remplace x et y par leur valeur dans une des équations de départ, soit : x + 2y = 1 $fleche$ -3/5 + 2(4/5) = 1 $fleche$ -3/5 + 8/5 = 1 $fleche$ 5/5 = 1 $fleche$ Vérification réussie, le couple (-3/5 ; 4/5) est bien la solution de l'équation. Cinquième étape : on conclut, soit : La solution du système est le couple (-3/5 ; 4/5).

$Mathématiques$ Méthode (interprétation) graphique

Le principe consiste à résoudre graphiquement le système de deux équations à deux inconnues, en considérant l'intersection de deux droites comme étant la solution du système.

$équation$ x + 2y = 1 $équation$ 3x + y = -1		est un système de deux équations à deux inconnues (x ; y).


$équation$ x + 2y = 1 $équation$ 3x + y = -1	peut s'écrire	$équation$ y = (-x + 1) /2 (d1) $équation$ y = -3x - 1 (d2)
y = (-x + 1)/2 et y = 3x -1 sont des équations de droites représentant respectivement les fonctions affines f(x) = (-x + 1)/2 et f(x) = 3x - 1. La solution du système est le couple des coordonnées du point P, c'est-à-dire le point d'intersection des deux droites d1 et d2. La solution du système est donc le couple (-0,6 ; 0,8). Nota : sous forme de fractions cela donne (-3/5 ; 4/5). Attention, la résolution graphique d'un système ne permet pas toujours d'obtenir une valeur exacte du couple solution.
$résolution graphique$
Le saviez-vous ? Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points distincts de cette droite. Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = ax + b et sa représentation graphique est une droite. Pour savoir si un couple est solution ou non d'un système, il suffit de remplacer x et y par les valeurs du couple donné : si les deux égalités sont vérifiées alors le couple est solution, sinon il n'est pas solution.