Les fractions, opérations, PGCD, algorithme d'Euclide...

Fractions simples et nombres décimaux

Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction.

Le PGCD et fractions irréductibles

Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre qui divise chacun d'eux.

• Parmi les diviseurs communs à deux entiers, le plus grand s'appelle le PGCD.
  • Calculons le PGCD de 42 et de 18 :
    • On recherche d'abord tous les diviseurs pour chacun des nombres :
      • Les diviseurs de 42 sont {1,2,3,4,6,7,42}. Ceux de 18 sont {1,2,3,6,9,18}
    • On recherche maintenant les diviseurs communs aux deux nombres (42 et 18) :
      • en regardant les deux listes, on trouve {1,2,3,6}
    • On prend le plus grand des diviseurs communs à 42 et 18 :
      • Le PGCD de 42 et 18 est 6.
  • Calculons le PGCD de 2 et 4 :
    • On recherche d'abord tous les diviseurs pour chacun des nombres :
      • Les diviseurs de 2 sont {1,2} Ceux de 4 sont {1,2,4}
    • On recherche maintenant les diviseurs communs aux deux nombres (2 et 4) :
      • en regardant les deux listes, on trouve {1,2}
    • On prend le plus grand des diviseurs communs à 2 et 4 :
      • Le PGCD de 2 et 4 est 2.
• Lorsque le PGCD de deux nombres entiers vaut 1, alors ils sont premiers entre eux. C'est-à-dire qu'ils n'acceptent qu'un seul diviseur commun : 1.
  • Calculons le PGCD de 2 et 5 :
    • On recherche d'abord tous les diviseurs pour chacun des nombres :
      • Les diviseurs de 2 sont {1,2} Ceux de 4 sont {1,5}
    • On recherche maintenant les diviseurs communs aux deux nombres (2 et 5) :
      • en regardant les deux listes, on trouve {1}
    • On prend le plus grand des diviseurs communs à 2 et 5 :
      • Le PGCD de 2 et 5 est 1. Les nombres 2 et 5 sont premiers entre eux.
• Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
  • La fraction 14/5 est-elle irréductible ?
    • On cherche le PGCD de 14 et 5, soit :
      • On recherche d'abord tous les diviseurs pour chacun des nombres :
        • Les diviseurs de 14 sont {1,2,14} Ceux de 5 sont {1,5}
      • On recherche maintenant les diviseurs communs aux deux nombres (14 et 5) :
        • en regardant les deux listes, on trouve {1}, donc le PGCD de 14 et 5 est 1.
        • La fraction 14/5 est donc irréductible car le PGCD de 14 et 5 vaut 1.
• Si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD, on obtient une fraction irréductible.
  • Simplifier 4/6 pour obtenir une fraction irréductible :
    • Le PGCD de 4 et 6 est 2. On a 4:2 / 6:2 = 2/3. La fraction 2/3 est irréductible.

Le PGCD et l'algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux nombres.

Méthode : on exprime d'abord le plus grand nombre avec un multiple du plus petit et un reste. Puis on exprime le plus petit en fonction du reste précédent et d'un nouveau reste. On continue ce procédé jusqu'à ce que l'on arrive à reste nul. Le dernier reste non nul est alors le PGCD des deux nombres du départ.

Exemple n°1 : Calcul du PGCD de 556 et 148 :

• On exprime d'abord le plus grand nombre avec un multiple du plus petit et un reste :
  • 556 = 148 x 3 + 112
• Puis on exprime le plus petit en fonction du reste précédent et d'un nouveau reste
  • 148 = 112 x 1 + 36
• Puis on exprime le plus petit en fonction du reste et d'un nouveau reste
  • 112 = 36 x 3 + 4
• Puis on exprime le plus petit en fonction du reste et d'un nouveau reste
  • 36 = 4 x 9 + 0 => le reste est nul, on s'arrête. Le PGCD = le dernier reste (4) => voir la ligne précédente = 3 x 36 + 4
• Par conséquent, le PGCD de 556 et 148 vaut 4.

Exemple n°2 : Pascal possède 108 billes rouges et 135 billes noires. Il souhaite faire des paquets en réalisant des lots identiques. C'est-à-dire comportant le même nombre de bille et la même répartition de billes rouges et noires. Calculer le nombre de paquets maximum qu'il pourra réaliser ?

• Pour résoudre ce problème, on va calculer le PGCD de 135 et 108 grâce à l'algorithme d'Euclide, soit :
  • 135 = 108 + 27
  • 108 = 27 x 4 + 0.
  • Le PGCD (135,108) = 27.
  • Pascal peut donc réaliser au maximum 27 paquets. Chaque paquet comportera 4 (108/27=4) billes rouges et 5 (135/27 = 5) billes noires.

Le saviez-vous ?

Manipulation des fractions

On peut multiplier ou diviser une fraction en haut et en bas par un nombre sans changer son résultat.

Exemples :

Comparaison et rangement des fractions

Pour comparer et ranger facilement des fractions, il faut qu'elles aient le MEME dénominateur. En effet, si elles ont le même dénominateur, il suffit alors de comparer les numérateurs...

Exemples de rangement :

Exemples de comparaison :

Addition et soustraction de fractions

Multiplication de fractions

Division de fractions